** Deux méthodes pour étudier le signe d'une fonction

On considère la fonction $f$  définie sur $\mathbb{R}$  par $f(x)={\text{e}}^{-3x+6}+3x-7$ . Le but de cet exercice est d'étudier le signe de la fonction $f$  de deux façons différentes.

1. Première méthode : étude de la fonction $f$
    a. Étudier les variations de la fonction $f$  sur $\mathbb{R}$ .
    b. Déterminer la valeur exacte du minimum de $f$  sur $\mathbb{R}$ .
    c. Conclure quant au signe de $f(x)$  sur $\mathbb{R}$ .

2. Seconde méthode : utilisation de la convexité
On considère la fonction $g$  définie sur $\mathbb{R}$  par $g(x)={\text{e}}^{-3x+6}$ .
    a. Étudier la convexité de $g$ .
    b. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$  au point d'abscisse $2$ .
    c. Conclure quant au signe de $f(x)$  sur $\mathbb{R}$ .